Zimný semester 2019/2020

Prednáška (paralelka X): Utorok 12:20 v M1 & Streda 14:00 v M1

Cvičenie: Streda 15:40 v M2 & Štvrtok 14:00 v M2

Mail: zuravmartin na gmail.com

Organizácia kurzu a cvičení

Všetky informácie o predmete, podmienkach udeľovania zápočtov a o skúškach je možné nájsť na stránke predmetu (odkaz nižšie). Cvičenia samotné poskytujú študentom priestor na riešenie úloh (samostatne, v skupinách, na tabuľu,…) k témam prebraným na prednáške, doplnenie si vedomostí z lineárnej algebry, ale hlavne možnosť konzultovať nejasnosti a klásť otázky. Dochádzka na cvičenia sa neeviduje a účasť nie je povinná (avšak odporúčaná). Na cvičeniach nebudú zadávané žiadne testy ani domáce úlohy a nebude od vás vyžadovaný žiadny výstup. Cvičenia slúžia vám, študentom, a preto do značnej miery záleží aj na vás a vašej aktivite, čo si z nich odnesiete.

Konzultácie

Konzultačné hodiny nie sú fixne stanovené. Ak máte záujem o konzultácie, najlepšie je napísať mail alebo sa stretnúť osobne a dohodnúť si termín. V prípadnom maili je vhodné špecifikovať otázky a témy, ktoré chcete konzultovať. Spravidla je možné konzultovať aj počas cvičení a ihneď po nich.

Užitočné odkazy

  • stránka kurzu v SIS-e
  • stránka kurzu na webe Dalibora Šmída, PhD.
  • stránka kurzu v minulom akademickom roku
  • syntax pre prácu s maticami vo Wolframe Alpha
  • videozáznam prednášok zo ZS akademického roku 2015/16

Zdroje

Príklady počítané na cvičeniach sa priebežne objavujú na stránke Dalibora Šmída. Ak sa chcete na príklady pozrieť v predstihu, tak sa vám bude hodiť minuloročná stránka k predmetu. Tento rok sa príklady nebudú veľmi lísiť od tých minuloročných. Vo všeobecnosti sa hodí hľadať príklady na internete, pretože existuje množstvo kníh a učebníc k lineárnej algebre, ktoré sú k dispozícii online.

Dianie na cvičeniach

1. cvičenie: Analytická geometria, vektory, všeobecný a parametrický tvar priamky v rovine, všeobecný tvar roviny v priestore, parametrický tvar priamky a roviny v priestore, riešenie sústavy lineárnych rovníc nad \mathbb{R}. Wiki má pomerne rozsiahly článok o analytickej geometrii.
Keywords:
analytic geometry, line, plane, space, equation, system of linear equations.
Doplňujúce príklady:
A) Popíšte, ako môže vyzerať prienik 2 a viac rovín v priestore?
B) Uveďte príklad troch rovín, z ktorých každé dve majú neprázdny prienik, ale dokopy všetky tri majú prázdny prienik.

2. cvičenie: Zobrazenia, typy zobrazení – prosté, na, bijekcia, rotácia, osová súmernosť, kolmá projekcia, skladanie zobrazení, úplný vzor množiny. Na Wiki je opäť veľmi bohatý článok tému zobrazení.
Keywords: function/map/mapping, injective/one-to-one, surjective/onto, bijective, rotation, projection, line symmetry, composition, preimage.
Doplňujúce príklady:
A) Nájdite príklad bijekcie medzi \mathbb{N} a i) \mathbb{Z}, ii) \mathbb{Q} a iii) \mathbb{N}\times\mathbb{N}.
B) Nájdite príklad zobrazenia z \mathbb{R}^2 do \mathbb{R}^2, ktoré je i) prosté, ale nie na a ii) na, ale nie prosté.
C) Dokážte, že pre lineárne zobrazenie f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 platí, že f je prosté \iff f je na \iff f je bijekcia.
D) Nájdite príklad zobrazenia f z \mathbb{N} do \mathbb{N} takého, že f má nekonečne mnoho pevných bodov (tj. f(x)=x pre nekonečne mnoho x) a zároveň pre nekonečne mnoho x\in\mathbb{N} platí, že f(x)\neq x.

3. cvičenie: Sústavy lineárnych rovníc, zápis sústavy do matice, Gaussova eliminácia, riadková a stĺpcová interpretácia hľadania riešení sústavy lineárnych rovníc, počítanie v telese \mathbb{Z}_p. Článok o maticiach, o sústavách lineárnych rovníc a článok o Gaussovej eliminácii na Wiki.
Keywords:
system of linear equations, matrix, Gaussian elimination, field.
Doplňujúce príklady:
A) Nad \mathbb{R} vyriešte sústavu y-2z=-11; -2x+5y-z=15; 3x-9y+6z=6.

4. cvičenie: Počítanie v \mathbb{Z}_p, riešenie sústav lineárnych rovníc nad konečnými telesami, operácie s maticami. Wiki článok o konečných telesách.
Keywords: finite field, matrix addition, multiplication, transpose.
Doplňujúce príklady:
A) Určte hodnotu výrazu (5+2)\cdot 4 nad \mathbb{Z}_3.
B) Nájdite inverz k prvku 7 v telese \mathbb{Z}_{11}
C) Nájdite príklad dvoch matíc A,B nad telesom \mathbb{Z}_5, ktoré spolu nekomutujú (tj. A\cdot B\neq B\cdot A). 
D) Nech A,B sú dve matice nad telesom T. Aké rozmery musia dané matice mať, aby boli definované oba súčiny A\cdot B aj B\cdot A.

5. cvičenie: Súčin matíc, zobrazenia určené maticami, maticový zápis sústavy lineárnych rovníc, lineárne zobrazenia. Wiki článok o lineárnych zobrazeniach.
Keywords: matrix multiplication, linear map.
Doplňujúce príklady:
A) Nájdite niekoľko (aspoň 4) príkladov reálnej 2×2 matice A takej, že A^n=A pre každé n\in\mathbb{N}.
B) Myslím si 3×3 maticu A nad telesom T. Vašou úlohou je určiť jednotlivé prvky matice A. Môžete si voliť ľubovoľne stĺpcové vektory v\in T^3, ja vám odpoviem výsledok súčinu A\cdot v. Aké konkrétne vektory je najlepšie zvoliť, aby ste túto úlohu vyriešili čo najjednoduchšie?

6. cvičenie: Regulárne matice, invertovateľné (sprava, zľava, sprava aj zľava) matice, hľadanie inverznej matice, LU-rozklad. Wiki článok o invertibilných maticiach a článok o LU-rozklade.
Keywords: regular matrix, invertible matrix, LU decomposition.
Doplňujúce príklady:
A) Nad telesom \mathbb{Z}_7 nájdite inverznú maticu k matici \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 4\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
B) Ukážte, že matica \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} nemá nad \mathbb{Z}_3 LU-rozklad.
C) Nájdite LU-rozklad matice \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} nad \mathbb{Z}_3.